Sistema decimal: por que contamos de 10 em 10?

Esta é a primeira parte da Bit a Bit, uma série que explica computação básica, um conceito por post. Antes de falar de zeros e uns, vale olhar para o sistema que usamos todos os dias sem pensar nele: o decimal.

Só 10 símbolos para escrever qualquer número

No sistema decimal existem apenas dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com eles escrevemos o número de alunos da turma, o preço do pão e a distância até a Lua. O truque está na posição. O mesmo 3 vale três em 3, trinta em 30 e trezentos em 300.

Isso se chama valor posicional. Cada casa vale 10 vezes a casa da direita:

• unidades valem 1;
• dezenas valem 10;
• centenas valem 100 (10 × 10);
• milhares valem 1.000 (10 × 10 × 10).

Então 347 é uma soma escondida: 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1.

Por que o 10 vem depois do 9?

Quando a casa das unidades chega no 9, não existe um símbolo novo para o próximo número. A casa “enche”, volta para 0 e sobe um para a casa seguinte. Por isso escrevemos 10: uma dezena e zero unidades. É o mesmo movimento do odômetro de um carro antigo, em que a rodinha da direita volta para o zero e empurra a vizinha.

O zero tem um papel enorme aqui. Ele guarda o lugar de uma casa vazia. Sem ele, não dá para diferenciar 35 de 305. Os números romanos, por exemplo, não têm zero nem valor posicional, e fazer uma conta como CCCXLVII + LXXXIX no papel é bem mais trabalhoso.

De onde veio a base 10

A explicação mais aceita é simples: temos dez dedos nas mãos. Mas a base 10 não é a única possível. Os babilônios contavam em base 60, e é por isso que uma hora tem 60 minutos. Os maias usavam base 20, contando dedos das mãos e dos pés.

Os algarismos que usamos hoje nasceram na Índia, foram levados adiante por estudiosos do mundo árabe e se espalharam pela Europa a partir do século XIII. Por isso se chamam indo-arábicos.

E o que isso tem a ver com computação?

Tudo. O computador também usa um sistema posicional, só que com uma base diferente. Quem entende de verdade por que o 10 vem depois do 9 está a um passo de entender por que, no computador, o 10 vem depois do 1. Esse é o assunto do próximo post.

Na sala de aula

O tema conversa com a habilidade EF06MA02 da BNCC, que pede reconhecer o sistema decimal, comparar com outros sistemas e destacar base, valor posicional e função do zero. Logo abaixo está um plano de aula de 50 minutos e os slides para baixar.

Plano de aula: o planeta dos 5 dedos

Objetivo: perceber que o valor de um algarismo depende da posição e que a base 10 é uma escolha, não a única possibilidade.

Desenvolvimento

1. Pergunta de abertura (5 min). Escreva no quadro: “Por que depois do 9 vem o 10?” Ouça as hipóteses sem corrigir.
2. Amarrados de 10 (10 min). Cada grupo recebe um monte de palitos e conta agrupando de 10 em 10 com elástico. Dez amarrados viram um amarrão (centena). Registram a quantidade como “amarrões, amarrados e soltos” e comparam com o número escrito.
3. O planeta dos 5 dedos (15 min). Conte a história: num planeta, os habitantes têm 5 dedos no total, então agrupam de 5 em 5. Os grupos recontam os mesmos palitos em amarrados de 5. A mesma quantidade agora se escreve diferente (por exemplo, 23 vira 43 na base 5: quatro amarrados de 5 e três soltos).
4. Conversa (10 min). Quantos símbolos o planeta precisa? Por que não existe o algarismo 5 lá? Para que serve o zero? Mostre os babilônios (base 60) e o relógio.
5. Fechamento (10 min). Cada aluno escreve o próprio ano de nascimento como soma de milhares, centenas, dezenas e unidades. Deixe a pergunta para a próxima aula: “E se fossem só 2 dedos?”

Avaliação: a folha de registro do grupo e a decomposição do ano de nascimento mostram se o aluno entendeu o valor posicional.

Adaptações: para baixa visão, palitos grossos e folha com casas grandes e contraste forte. Para alunos que precisam de mais tempo, a etapa 3 pode ficar só até o número 12.

Fontes

• EF06MA02 (Matemática, 6º ano): profez.com.br/bncc/matematica/6-ano/ef06ma02.